（2011•河南模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+1．
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解题思路：（Ⅰ）由题意只要证明
b
n
b
n−1
为一常数即可，已知Sn+1=4an+1，推出b1的值，然后继续递推相减，得an+1-2an=2（an-2an-1），从而求出bn与bn-1的关系；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）{bn}是等比数列，可得bn}的通项公式，从而证得数列{
a
n
2
n
}是首项为[1/2]，公差为[1/2]的等差数列，
最后利用错位相减法，求出数列{an}的通项公式和前n项和．
（Ⅰ）由a1=1，及Sn+1=4an+1，得
a1+a2=4a1+1，a2=3a1+1=4，
∴b1=a2-2a1=2，
由Sn+1=4an+1…①
则当n≥2时，有Sn=4an-1+1…②
②-①得an+1=4an-4an-1，∴an+1-2an=2（an-2an-1）
又∵bn=an+1-2an∴bn=2bn-1
∴{bn}是首项b1=2，公比等于2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=2n，∴an+1-2an=2n，
∴
an+1
2n+1−
an
2n＝
1
2，∴数列{
an
2n}是首项为[1/2]，公差为[1/2]的等差数列，
∴
an
2n=[1/2]+（n-1）[1/2]=[n/2]，an=n•2n-1，
设Sn=1+2•21+3•22+…+（n-1）•2n-2+n•2n-1，
∴2Sn=21+2•22+3•23+…（n-1）•2n-1+n•2n
∴两式相减得，-Sn=1（ 21+22+23+…2 n-1）-n•2n
=1+
2•(1−2n−1)
1−2−n•2n＝−1+(1−n)•2n
∴Sn=（n-1）2n+1．
点评：
本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．
考点点评： 此题主要考查了等比数列的性质及其前n项和，运用了错位相减法求数列{an}的前n项和，这个方法是高考中常用的方法，同学们要熟练掌握它．
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