已知函数f（x）=xlnx+1．（1）求函数f（x）在x∈[e-2，e2]上的最大值与最小值；（2）若x＞1时，函数y=
1个回答
（1）∵f（x）=xlnx+1，
∴定义域为（0，+∞），且f'（x）=lnx+1，…（1分）
当x∈[e-2，e-1]时，f'（x）＜0，当x∈[e-1，e2]时，f'（x）＞0，
∴f（x）在x∈[e-2，e-1]为为减函数，在x∈[e-1，e2]上为增函数，…（3分）
∴f（x）min=f（e-1）=1-e-1，…（4分）
f(x)max＝max{f(e?2)，f(e2)}＝f(e2)＝1+2e2．…（5分）
（2）当x∈（1，+∞）时，y=f（x）的图象恒在直线y=kx的上方，
等价于x∈（1，+∞）时，不等式xlnx+1＞kx恒成立，
即k＜[xlnx+1/x]=lnx+[1/x]恒成立，
令g（x）=lnx+[1/x]，x∈（1，+∞），则g′(x)＝
1
x?
1
x2＝
x?1
x2，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上递增，∴x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=1，
∴满足条件的实数k的取值范围是（-∞，1]．
（3）证明：由（2）知当x∈（1，+∞）时，
xlnx+1＞x?lnx＞1?
1
x，…（11分）
令x＝
n+1
n，则ln
n+1
n＞1?
n
n+1，
化简得ln(n+1)?lnn＞
1
n+1，…（13分）
∴ln2-ln1＞[1/2]，ln3-ln2＞[1/3]，…，ln(n+1)?lnn＞
1
n+1，
∴ln（n+1）=[ln（n+1）-lnn）+（lnn-ln（n-1））+…+（ln2-ln1）+ln1
=[1/n+1+
1
n+…+
1
2]，
即ln(n+1)＞
1
2+
1
3+
1
4+…+
1
n+1．…（14分）
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