已知数列{an}中，a1＝56，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程an-1x2-anx+1=0（n∈N+，n≥2）
1个回答
解题思路：根据韦达定理分别求得α+β和αβ代入3α-αβ+3β=1，进而求得an=[1/3]an-1+[1/3]，从而可推知
a
n
−
1
2
a
n−1
−
1
2
为定值，由此得数列{an-[1/2]}为等比数列，根据等比数列的通项公式进而可得an，再根据等比数列的求和公式，求得Sn．
由题意，∵α+β=
an
an−1，αβ=[1
an−1代入3α-αβ+3β=1得an=
1/3]an-1+[1/3]，
∴
an−
1
2
an−1−
1
2=
1
3an−1+
1
3−
1
2
an−1−
1
2=[1/3]为定值．
∴数列{an-[1/2]}是等比数列．
∵a1-[1/2]=[5/6]-[1/2]=[1/3]，
∴an-[1/2]=[1/3]×（ [1/3]）n-1=（ [1/3]）n．
∴an=（ [1/3]）n+[1/2]．
∴Sn=（ [1/3]+[1
32++
1
3n）+
n/2]=
点评：
本题考点： 根与系数的关系；数列的求和．
考点点评： 本题以方程的根与系数为载体，考查了等比数列的性质，考查构造法的运用，属基础题．
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