已知函数 f(x)= 1 3 x 3 +m x 2 -3 m 2 +1 （m＞0）．
1个回答
（Ⅰ）当m=1时，f（x）=
1
3 x 3+x 2-3x+1，f（2）=
8
3 +4-6+1=
5
3 ；
f′（x）=x 2+2x-3，f′（2）=4+4-3=5，
所以所求切线方程为y-
5
3 =5（x-2），即15x-3y-25=0；
（Ⅱ）对于f（x）=
1
3 x 3+mx 2-3m 2x+1，
f′（x）=x 2+2mx-3m 2，
令f′（x）=x 2+2mx-3m 2=0，解可得x=-3m或x=m；
由于m＞0，则m＞-3m，
若f′（x）=x 2+2mx-3m 2≥0，则x的范围是x≤-3m或x≥m；
所以函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-3m]和[m，+∞），
要使f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，
应有m+1≤-3m或2m-1≥m，
解得m≤
1
4 或m≥1，①
对于区间（2m-1，m+1），有m+1＞2m-1，解可得m＜2，②
又由m＞0，③
综合三式可得1≤m＜2，
即实数m的取值范围{m|1≤m＜2}．
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