过双曲线2x2-y2=1上一点A（1，1）作两条动弦AB，AC，且直线AB，AC的斜率的乘积为3．
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解题思路：（1）分类讨论，利用直线AB，AC的斜率的乘积为3，即可求得结论；
（2）令BC：y=kx+b，代入双曲线方程，得出k+5b+1=0，所以
−
1
5
＝k•
1
5
+b
，因此直线BC过定点M
(
1
5
，−
1
5
)
，直线y=-[1/5]也过定点，从而可得结论．
（1）令B（x1，y1），C（x2，y2）．
当BC与x轴垂直时，有x1=x2，y1=-y2，
故：3=
y1−1
x1−1•
−y1−1
x1−1＝
1−
y21
(x1−1)2＝
2(1−
x21)
(1−x1)2＝
2(1+x1)
1−x1
∴x1=[1/5]，与|x1|≥
2
2矛盾，因此BC不与x轴垂直..（3分）
当BC与y轴垂直时，有x1=-x2，y1=y2，
故：3=
y1−1
x1−1•
y1−1
−x1−1＝
(1−y1
)2
1−
x21＝
2(1−y1)2
1−
y21＝
2(1−y1)
1+y1
∴y1=-[1/5]，因此BC可与y轴垂直，此时BC的方程为y=-[1/5]．（5分）
（2）证明：当BC不与坐标轴垂直时，kAB•kAC=
y1−1
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
考点点评： 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生的计算能力，难度较大．
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