f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，满足f（x - 已解决

f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，满足f（x）+f（y）=f（xy）．

（1）求证：

f(x)−f(y)＝f(

)

；

（2）若f（4）=-4，解不等式

f(x)−f(

x−12

)≥−12

．

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解题思路：（1）根据f（x）+f（y）=f（xy），将x代换为[x/y]，代入恒等式中，即可证明

f(x)−f(y)＝f(

)

；

（2）利用恒等式，将不等式

f(x)−f(

x−12

)≥−12

等价转化为f[x（x-12）]≥f（64），再利用f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，即可列出关于x的不等式，求解不等式，即可得到不等式

f(x)−f(

x−12

)≥−12

的解集．

（1）证明：∵f（x）+f（y）=f（xy），

将x代换为[x/y]，则有f(

y)+f(y)＝f(

y•y)＝f(x)，

∴f(x)−f(y)＝f(

y)；

（2）∵f（x）+f（y）=f（xy），

∴-12=-4+（-4）+（-4）=f（4）+f（4）+f（4）=f（64），

∵f(x)−f(y)＝f(

y)，

∴f（x）-f（[1/x−12]）=f[x（x-12）]，

∴不等式f(x)−f(

x−12)≥−12等价于f[x（x-12）]≥f（64），

∵f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，

∴

x＞0

x−12＞0

x(x−12)≤64，即

x＞0

x＞12

−4≤x≤16，

∴12＜x≤16，

∴不等式f(x)−f(

x−12)≥−12的解集为{x|12＜x≤16}．

点评：

本题考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质．

考点点评：本题考查了抽象函数及其应用，考查了利用赋值法求解抽象函数问题，解决本题的关键是综合运用函数性质把抽象不等式化为具体不等式，也就是将不等式进行合理的转化，利用单调性去掉“f”．属于中档题．

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