已知函数f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）．
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解题思路：（1）先求出f′（x）=0的值，使其一个值在（1，+∞），建立不等关系，解之即可求出实数a的取值范围；（2）原题等价于使x∈[-1，1]时，（f（x））min＞0恒成立，讨论a，再结合函数的单调性求出函数的最小值，使最小值恒大于0即可．
（1）f'（x）=3x2+2ax-（2a+3）=（3x+2a+3）（x-1）
令f′（x）=0，得x=1，或x＝−
2a+3
3，
使函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，
则−
2a+3
3＞1，解得：a＜-3．（6分）
（2）由题意知，即使x∈[-1，1]时，（f（x））min＞0．
①当−
2a+3
3≥1，即a≤-3时，f（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
∴（f（x））min=f（-1）=a2+3a+2＞0，得a＞-1或a＜-2，
由此得：a≤-3；
②当−1＜−
2a+3
3＜1，即-3＜a＜0，f（x）在[−1，−
2a+3
3]为增函数，在[−
2a+3
3，1]上为减函数，
所以（f（x））min=min{f（-1），f（1）}，
得
f(−1)＝a2+3a+2＞0
f(1)＝a2−a−2＞0⇒a＞2或a＜-2
由此得-3＜a＜-2；
③当−
2a+3
3≤−1，即a≥0，f（x）在x∈[-1，1]上为减函数，所以（f（x））min=f（1）=a2-a-2＞0
得a＞2或a＜-1，由此得a＞2；
由①②③得实数a的取值范围为a＞2或a＜-2．（15分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 本题考查函数恒成立问题和已知函数极值点求参数的范围，求参数范围，注意用函数的思想，以及讨论的思想，化难为易，此题综合性较强．
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