一个多面体的三视图及直观图如图所示：
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解；依题意知，该多面体为底面是正方形的四棱台，且D 1D⊥底面ABCD，AB=2A 1B 1=2DD 1=2a…（2分）
以D为原点，DA、DC、DD 1所在的直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2a，0，0），B 1（a，a，a），D 1（0，0，a），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C 1（0，a，a）…（4分）
（Ⅰ）∵
A B 1 =（-a，a，a），
D D 1 =（0，0，a）
∴cos＜
A B 1 ，
D D 1 ＞=
A B 1 •
D D 1
|
A B 1 ||
D D 1 | =
3
3
即直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为
3
3 …（6分）
（II）设F（x，0，z），∵
B B 1 =（-a，a，a），
BC =（-2a，0，0），
F B 1 =（a-x，a，a-z）
由FB 1⊥平面BCC 1B 1得
即
-a(a-x)- a 2 +a(a-z)=0
-2a(a-x) 得
x=a
z=0
∴F（a，0，0）即F为DA的中点…（9分）
（III）由（II）知
F B 1 为平面BCC 1B 1的法向量．
设
n =（x 1，y 1，z，）为平面FCC 1的法向量．
∵
C C 1 =（0，-a，a），
FC =）-a，2a，0）
∴
-a y 1 +a z 1 =0
-a x 1 +2a y 1 =0
令y 1=1得x 1=2，z 1=1
∴
n =（2，1，1）
∴cos＜
n ，
F B 1 ＞=
n •
F B 1
n ||
F B 1 | =
3
3
即二面角F-CC 1-B的余弦值为
3
3 …（12分）
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