解题思路：（I）根据极值点的信息，我们要用导数法，所以先求导
f′(x)＝
a
ax+1
+3
x
2
−2x−a
，则
x＝
2
3
为f(x)
的极值点，则有
f′(
2
3
)＝0
从而求得结果．
（II）由f（x）在[1，+∞）上为增函数，则有f′（x）≥0，x∈[1，+∞）上恒成立求解．
（III）将a=-1代入，方程
f(1−x)−(1−x
)
3
＝
b
x
，可转化为b=xlnx+x2-x3，x＞0上有解，只要求得函数g（x）=xlnx+x2-x3的值域即可．
（I）f′(x)＝
a
ax+1+3x2−2x−a=
x[3ax2+(3−2a)x−(a2+2)]
ax+1
∵x＝
2
3为f(x)的极值点，∴f′(
2
3)＝0，
∴3a(
2
3)2+
2
3(3−2a)−(a2+2)＝0且
2
3a+1≠0，解得a=0
又当a=0时，f'（x）=x（3x-2），从而x＝
2
3为f(x)的极值点成立．
（II）因为f（x）在[1，+∞）上为增函数，
所以
x[3ax2+(3−2a)x−(a2+2)]
ax+1≥0在[1，+∞)上恒成立．（6分）
若a=0，则f'（x）=x（3x-2），此时f（x）在[1，+∞）上为增函数成立，故a=0符合题意
若a≠0，由ax+1＞0对x＞1恒成立知a＞0．
所以3ax2+（3-2a）x-（a2+2）≥0对x∈[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=3ax2+（3-2a）x-（a2+2），其对称轴为x＝
1
3−
1
2a，
因为a＞0，所以
1
3−
1
2a＜
1
3，从而g（x）在[1，+∞）上为增函数．
所以只要g（1）≥0即可，即-a2+a+1≥0成立
解得
1−
5
2≤a≤
1+
5
2
又因为a＞0，所以0＜a≤
1+
5
2．（10分）
综上可得0≤a≤
1+
5
2即为所求
（III）若a=-1时，方程f(1−x)−(1−x)3＝
b
x
可得lnx−(1−x)2+(1−x)＝
b
x
即b=xlnx-x（1-x）2+x（1-x）=xlnx+x2-x3在x＞0上有解
即求函数g（x）=xlnx+x2-x3的值域．
法一：b=x（lnx+x-x2）令h（x）=lnx+x-x2
由h′(x)＝
1
x+1−2x＝
(2x+1)(1−x)
x∵x＞0∴当0＜x＜1时，h'（x）＞0，
从而h（x）在（0，1）上为增函数；
当x＞1时，h'（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数．
∴h（x）≤h（1）=0，而h（x）可以无穷小．∴b的取值范围为（-∞，0]（15分）
法二：g'（x）=lnx+1+2x-3x2g″(x)＝
1
x+2−6x＝−
6x2−2x−1
x
当0＜x＜
1+
7
6时，g″(x)＞0，所以g′(x)在0＜x＜
1+
7
6上递增；
当x＞
1+
7
6时，g″(x)＜0，所以g′(x)在c＞
1+
7
6上递减；
又g'（1）=0，∴令g′(x0)＝0，0＜x0＜
1+
7
6∴当0＜x＜x0时，g'（x）＜0，
所以g（x）在0＜x＜x0上递减；当x0＜x＜1时，g'（x）＞0，
所以g（x）在x0＜x＜1上递增；当x＞0时，g（x）＜0，所以g（x）在x＞1上递减；
又当x→+∞时，g（x）→-∞，g(x)＝xlnx+x2−x3＝x(lnx+x−x2)≤x(lnx+
1
4)
当x→0时，lnx+
1
4＜0，则g（x）＜0，且g（1）=0所以b的取值范围为（-∞，0]
点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 本题主要考查导数在求最值和极值中的应用，变形与转化是导数法解题中的关键．
