如图，四棱锥B-ACDE中，底面ACDE为直角梯形，CD∥AE，∠BCD=∠ACD=90°，二面角A-CD-B为60°，
1个回答
解题思路：（1）由已知条件推导出∠BCA=60°，从而得到BC⊥CD，由此能够证明AC⊥BE．
（2）过D点作AE的垂线，垂足为F，由已知条件推导出∠BDF为BD与面ABE所成的角，由此能求出BD与面ABE所成角的正弦值．
（3）作FG⊥BE，连结DG，由已知条件推导出∠DGF是A-BE-D的二面角，由此能求出二面角A-BE-D的余弦值．
（1）证明：∵∠BCD=∠ACD=90°
∴AC⊥CD，BC⊥CD，
∴∠BCA为二面角A-CD-B的平面角，
∵二面角A-CD-B为60°，∴∠BCA=60°，
∵在△ABC中，BC=2，AC=1，∠BCA=60°，
∴∠ABC=30°，∠BAC=90°，即BC⊥CD，
∴AC⊥平面ABE，∵BE⊂平面ABE，
∴AC⊥BE．
（2）过D点作AE的垂线，垂足为F，
∵AC⊥平面ABE，∴DF∥AC，∵AC⊥BE，
∴DF⊥面ABE 即∠BDF为BD与面ABE所成的角，
∵DF=AC=2，BC=2，CD=1，
∴BD=
BC2+CD2=
5，BF=
BD2−DE2=2，
∴sin∠BDF=[BF/BD]=
2
5
5．
∴BD与面ABE所成角的正弦值为
2
5
5．
（3）作FG⊥BE，连结DG，
∵DF⊥面ABE，DF⊥BE，FG⊥BE，
∴BE⊥平面DFG，∴DG⊥BE，
∴∠DGF是A-BE-D的二面角，
AB2+AF2=BF2，∴∠BAF=90°，
BE=
AB2 +AE2=
点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．
考点点评： 本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
相关问题
