如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．（
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（1）
证明：延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
AB＝AD
∠ABM＝∠D
BM＝DF
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
AE＝AE
∠FAE＝∠MAE
AF＝AM，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．
（2）EF、BE、DF之间的关系是EF=BE-DF，
理由是：在CB上截取BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ADC+∠ADF=180°，
∴∠ABC=∠ADF，
在△ABM和△ADF中，
AB＝AD
∠B＝∠ADF
BM＝DF
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF=2（∠EAD+∠DAF）=2（∠EAD+∠BAM）=∠EAF+（∠EAD+∠BAM）
又∵∠BAD=（∠BAM+∠EAD）+∠MAE
∴∠MAE=∠EAF在△FAE和△MAE中，
AE＝AE
∠FAE＝∠MAE
AF＝AM，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE-BM=BE-DF，
即EF=BE-DF．
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