在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=2AD=4，E，F，G分别是BC，CD，AB的中点（如图1）
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证明：（1）在图1中，因为∠ABC=∠BAD=90°，所以AD ∥ BC．
因为F，G分别是CD，AB的中点，所以FG ∥ AD ∥ BC．
在图2中，因为FG ∥ AD，FG ∥ BC，所以AD ∥ BC．
因为BC=2AD，E是BC的中点，所以AD=BE．
所以四边形ABED是平行四边形．
所以AB ∥ DE．
因为∠GAD=∠GBC=90°，FG ∥ AD，FG ∥ BC，
所以AG⊥FG，且BG⊥FG．
因为AG∩BG=G，且AG，BG?平面AGB，所以FG⊥平面AGB．
因为AB?平面AGB，所以FG⊥AB．
所以DE⊥FG．
（2）当M在线段BG上，且BM=2MG时，AM ∥ 平面BDF．
证明如下：
在线段BF上取点N，使BN=2NF．
因为FG是梯形ABCD的中位线，BC=2AD=4，
所以FG ∥ AD，且FG=3．
因为BM=2ME，BN=2NF，所以MN ∥ FG，且MN=
2
3 FG=2.
所以 MN
∥
.
. AD.
所以四边形MNDA是平行四边形．
所以AM ∥ DN．
又因为DN?平面BDF，AM?平面BDF，
所以AM ∥ 平面BDF．
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