（2013•保康县模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，点P是x

（2013•保康县模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，点P是x轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图甲所示，连接AC、CP、PB、BA，是否存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值．

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解题思路：（1）利用待定系数法，将点A，B，C的坐标代入解析式即可求得；

（2）根据等腰梯形的判定方法分别从PC∥AB与BP∥AC去分析，注意不要漏解；

（3）首先确定点P与点H的位置，再求解各线段的长即可．

∵抛物线y=ax2+bx+c过A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三点，

∴

9a+3b+c=3.5

16a+4b+c=2

c=2

解得：

a=-

1

2

b=2

c=2，

∴此抛物线的解析式为：y=-[1/2]x2+2x+2；

（2）∵A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2），

∴AC=

3

5

2，AB=

13

2，

①若PC∥AB，则过点B作BE∥x轴，过点A作AE∥y轴，交点为E，

∴AE=1.5，BE=1，

当[OC/AE=

OP

BE]时，AB∥PC，

∴[2/1.5=

OP

1]，

∴OP=[4/3]，

∴点P的坐标为：（[4/3]，0），

∴BP=[10/3]，

∴AP≠BC，

∴此点不符合要求，舍去；

②若BP∥AC，则过点A作AE∥y轴，过点C作CE∥x轴，相交于点E，过点B作BF∥y

轴，

当[AE/BF=

CE

PF]时，BP∥AC，

∴

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰梯形的判定与性质以及周长和最小问题．此题比较复杂，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．

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