1.已知a＞0,b＞0,a+b=1,求证:(1+1/a)(1+1/b)≥9.
2个回答
(1)(1+1/a)(1+1/b)
=[(a+1)/a][(b+1)/b]
=(a+1)(b+1)/ab
=(1+a+b+ab)/ab
=(2+ab)/ab
=2/ab+1
根据a+b≥2√(ab)
ab≤[(a+b)/2]²=1/4
1/ab≥4,当a=b=1/2时取等号
则(1+1/a)(1+1/b)=2/ab+1≥4*2+1=9
(2)
(a+1/2)+1≥2√[(a+1/2)*1]=2√(a+1/2),当a+1/2=1即a=1/2时取等号
(b+1/2)+1≥2√[(b+1/2)*1]=2√(b+1/2),当b+1/2=1即b=1/2时取等号
因为a=1/2,b=1/2时满足a+b=1
所以以上两式能同时取等号
以上两式相加即可得
(a+1/2)+1+(b+1/2)+1≥2√(a+1/2)+2√(b+1/2)
a+b+3=4≥2√(a+1/2)+2√(b+1/2)
√(a+1/2)+√(b+1/2)≤2
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