解题思路：（1）由4Sn=
(
a
n
+1
)
2
，得4sn-1=
(a
n−1
+1)
2
，两式相减得an的表达式；由an可求sn的表达式；
（2）由an=2n-1，用裂项法计算{
1
a
n
a
n+1
}的前n项和Tn；
（3）由（2）知Tn=[1/2]-[1/4n+2]，n∈N*，用放缩法可证明不等式[1/3]≤Tn＜[1/2]成立．
（1）∵4Sn=(an+1)2，n∈N*，
∴4sn-1=(an−1+1)2，（n≥2）；
∴4an=(an+1)2-(an−1+1)2，（n≥2），
∴(an−1)2=(an−1+1)2，（n≥2）；
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0，（n≥2）；
又∵正项数列{an}，∴an+an-1≠0，
∴an-an-1-2=0（n≥2）；
又n=1时，4a1=4s1=(a1+1)2，a1＞0，
∴a1=1，∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an=2n-1，n∈N*，
∴sn=[1/4](an+1)2=n2，n∈N*；
（2）∵an=2n-1，∴
1
anan+1=[1
(2n−1)(2n+1)=
1/2]（[1/2n−1]-[1/2n+1]），
∴前n项和Tn=[1/2][（1-[1/3]）+（[1/3]-[1/5]）+…+（[1/2n−1]-[1/2n+1]）]=[1/2]（1-[1/2n+1]）=[1/2]-[1/4n+2]；
（3）证明：∵Tn=[1/2]-[1/4n+2]，n∈N*，
∴[1/3]=[1/2]-[1/4×1+2]≤Tn=[1/2]-[1/4n+2]＜[1/2]，
∴不等式[1/3]≤Tn＜[1/2]对任意的n∈N*都成立．
点评：
本题考点： 数列的求和；数列与不等式的综合．
考点点评： 本题考查了数列的前n项和公式列以及数列求和的裂项法、不等式证明的放缩法等问题，是易错题．
