已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1-x）（a∈R）．
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解题思路：（1）直接利用函数奇偶性的定义得出f（-x）+f（x）=0，再利用函数解析式即可求出a值；
（2）由（1）得
f(x)＝
log
2
1+x
1−x
(−1＜x＜1)
，根据反函数的定义求出其反函数，再对m进行分类讨论，结合对数函数的单调性解不等式即可．
（1）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴f（-x）+f（x）=0，
有log2（1-x）+alog2（1+x）+log2（1+x）+alog2（1-x）=0，
化简得（a+1）[log2（1-x）+log2（1+x）]=0
∵log2（1-x）+log2（1+x）不恒为0，
∴a+1=0，即a=-1．
（2）由（1）得f(x)＝log2
1+x
1−x(−1＜x＜1)则．
∵f-1（x）=1-[2
2x+1∈（-1，1）
当m≥1时，不等式f-1（x）＞m解集为∅
当-1＜m＜1时，解不等式 f-1（x）＞m 有
2x−1
2x+1＞m⇒1-
2
2x+1＞m⇒2x＞
1+m/1−m]⇒x＞log2
1+m
1−m
解集为{x|x＞log2
1+m
1−m}
当m≤-1时，不等式f-1（x）＞m对任意的x都成立，即解集为R
点评：
本题考点： 反函数；对数的运算性质．
考点点评： 本题以对数型复合函数为例，考查了函数的单调性与值域、反函数和不等式的解法等等知识点，属于中档题．本题的综合性较强，在解题时注意分类讨论与转化化归思路的适时恰当的运用．
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