. (1)∵抛物线的顶点为 ,∴设抛物线的解析式为 .
把A(0,-4)代入,得a=1.
∴抛物线的解析式为 .
(2)①如图1,当b=0时,直线为 ,由
解得
∴B、C的坐标分别为(-2,-2),(2,2).
∴ , .即 .
∴E是线段BC的中点.
②当b≠0时,E还是线段BC的中点.
由 ,解得 ,
∴B、C的坐标分别为(- ,- +b),( , +b),
如图2,作 轴, 轴,垂足分别为F、G,则 ,
而 和 是同底的两个三角形,
∴ . ∴E还是线段BC的中点.
(3)存在这样的b.理由如下:
∵E始终为BC的中点,∴当OE=CE时, 为直角三角形,
∴ ,
∴ ,
∵ ,∴ ,解得 .
∴当b=4或-2时,∠BOC是直角.