C为线段AB上一点,分别以AC和BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连结AE,BD,交于F,AE交CD于G,B
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1、∵△ADC、△BCE是等边三角形
∴AC=CD,CE=BC,∠ACD=∠BCE=60°,那么∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE=120°
∴∠ACE=∠BCE=120°,∠DCE=60°
∴△ACE≌△DCB(SAS)
∴∠CAE=∠CDB
即∠CAG=∠CDH
∵∠DCH=∠ACG=60°
AC=CD
∴△ACG≌△DCH(ASA)
∴CG=CH
∵∠GCH=∠DCE=60°
∴△CHG是等边三角形[∠CHG=∠CGH=(180°-∠GCH)/2=60°]
2、∵△ACE≌△DCB(SAS),∠CAE=∠CDB
∴∠GDF=∠CAG
∵∠DGF=∠AGC
∴∠DFG=∠ACG=∠ACD=60°(两个三角形中,有两对角相等,那么第三对角也相等）
∴∠AFB=180°-∠DFG=180°-60°=120°
3、学过四点共圆,就很简单：
∵△ACE≌△DCB(SAS),∠CAE=∠CDB
∴∠GDF=∠CAG
∴A、D、F、C四点共圆
∴∠CFG=∠ADC=60°
那么∠BFC=∠AFB-∠CFG=120°-60°=60°
∴FC平分∠AFB
4、∠DFA=∠CFA=60°
∴FA平分∠DFC
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