已知数列{an}满足奇数项a1，a3，a5，…成等差数列{a2n-1}（n∈N+），而偶数项a2，a4，a6，…成等比数
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解题思路：（Ⅰ）先利用等差数列及等比数列的定义求得a2n-1=2n-1，a2n＝2n，进而利用等差数列及等比数列的求和公式分别求得奇数项的和及偶数项的和，即得结论．注意分类讨论．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论得bn+1−bn＝(n+1)2+2n+2−22n+1−n2+2n+1−22n＝2−(n−1)22n+1．即得结论．
（Ⅰ）设等差数列{a2n-1}（n∈N+）的公差为d，等比数列{a2n}（n∈N+）的公比为q，
则2（1+d）=2+2q，4q=（1+d）+（1+2d），解得q=d=2．…（2分）
于是a2n-1=2n-1，a2n＝2n，即数列的通项an＝
n，n为奇数
2
n
2，n为偶数.…（4分）
于是当n为偶数时，数列奇数项的和为[
1+(2×
n
2−1)
2]×
n
2＝
n2
4，偶数项的和为
2(1−2
n
2)
1−2＝2
n
2+1−2，
故Sn＝
n2
4+2
n
2+1−2．…（6分）
当n为奇数时，Sn＝Sn−1+an＝
(n−1)2
4+2
n+1
2−2+n＝2
n+1
2+
n2+2n−7
4．
于是Sn＝
2
n+1
2+
n2+2n−7
4，n为奇数
n2
4+2
n
2+1−2，n为偶数.…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn＝
S2n
2n＝
n2+2n+1−2
2n，bn+1−bn＝
(n+1)2+2n+2−2
2n+1−
n2+2n+1−2
2n＝
2−(n−1)2
2n+1．…（10分）
当n≤2时，bn+1＞bn；当n＞2时，bn+1＜bn．…（13分）
点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列与等比数列的综合．
考点点评： 本题主要考查等差数列及等比数列的定义性质和求和公式的应用，考查学生的分类讨论思想及运算求解能力，属中档题．
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