解题思路：（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求出函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）ex-y＞
ln(x+1)
ln(y+1)
，即证
e
x
ln(x+1)
＞
e
y
ln(y+1)
，令g（x）=
e
x
ln(x+1)
，则只要证明g（x）在（e-1，+∞）上单调递增．
（I）∵f（x）=ax-1-lnx，
∴f′（x）=[ax−1/x]，
当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
函数f（x）在（0，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点；
当a＞0时，f'（x）＜0得0＜x＜[1/a]，f'（x）＞0得x＞[1/a]，
∴f（x）在（0，[1/a]）上递减，在（[1/a]，+∞）上递增，即f（x）在x=[1/a]处有极小值．
∴当a≤0时f（x）在（0，+∞）上没有极值点，
当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．------------（5分）
（注：分类讨论少一个扣一分．）
（II）证明：ex-y＞
ln(x+1)
ln(y+1)，即证
ex
ln(x+1)＞
ey
ln(y+1)，
令g（x）=
ex
ln(x+1)，
则只要证明g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，------------（7分）
又∵g′（x）=
ex[ln(x+1)−
1
x+1]
ln2(x+1)，
显然函数h（x）=ln（x+1）-[1/x+1]在（e-1，+∞）上单调递增．
∴h（x）＞1-[1/e]＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，即
ex
ln(x+1)＞
ey
ln(y+1)，
∴当x＞y＞e-1时，有ex-y＞
ln(x+1)
ln(y+1)．------------（12分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
