解题思路：（1）此题由3种情况，①从假设△BPQ是等腰三角形入手．求证△BMP∽△BCD，利用对应边成比例即可求得t的值．
②在Rt△BMP中，利用cos∠DBC=[BM/BP＝
BC
BD
＝
4
5]，解得t．
③如图，当BQ=PQ时，自点Q向BD引垂线，垂足为N．利用Rt△BNQ∽Rt△BCD其对应边成比例即可求得t．
（2）若△PBQ为等边三角形，则BQ=BP=PQ．由②，知当BQ=BP时，
t＝
5
2
．由①，知当BP=PQ时，
t＝
40
13
．而BQ=BP与BP=PQ不能同时成
（1）若△BPQ是等腰三角形．
①如图，当PB=PQ时，自点P向BC引垂线，
垂足为M，则有BM=MQ．
方法一：
由△BMP∽△BCD，得[BM/BC＝
BP
BD]，
∴BM＝
BP•BC
BD＝
(5−t)•4
5＝
20−4t
5．
∴[20−4t/5＝
t
2]，解得t＝
40
13．
方法二：
在Rt△BMP中，
BP＝5−t，BM＝
t
2，cos∠DBC＝
BM
BP＝
BC
BD＝
4
5．
∴
t
2
5−t＝
4
5，解得t＝
40
13．
②当BQ=BP时，有t=5-t，解得t＝
5
2．
③如图，当BQ=PQ时，自点Q向BD引垂线，垂足为N．
由Rt△BNQ∽Rt△BCD，得[BN/BC＝
BQ
BD]．
∴
5−t
2
4＝
t
5，解得t＝
25
13．
（2）不能．
若△PBQ为等边三角形，则BQ=BP=PQ．
由（2）②，知当BQ=BP时，t＝
5
2．
由（2）①，知当BP=PQ时，t＝
40
13．
∴BQ=BP与BP=PQ不能同时成立，
∴△PBQ不可能为等边三角形．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定．
考点点评： 此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，是一道难题．
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