已知数列{an},其前n项和Sn满足S(n+1)=2λSn+1 a1=1 a3=4 试比较Tn/2与Sn大小
2个回答

1、把n＝1带入,得到a1+a2=2λa1+1,a2=2λ

把n＝3带入,得到a1+a2+a3=2λ(a1+a2)+1,

1+2λ+4＝2λ(1+2λ)+1,λ=1

2、a1=1,a2=2,a3=4,考虑an=2^(n-1)

用数学归纳法

S(n+1)=2Sn+1,所以a(n+1)=Sn+1,a(n)=S(n-1)+1

n=2时,a2=2=2^(2-1)

设n=k-1时成立a(k-1)=2^(k-1-1),则S(k-1)＝2^(k-1)-1,

当n=k时,a(k)=S(k-1)+1=2^(k-1),所以成立

即an=2^(n-1)

3、比较Tn/2 与 Sn,即比较Tn 与 2Sn

设nan=bn,bn-2an=(n-2)2^(n-1),当n＞2时bn-2an≥2^(n-1),

b2-2a2=0,b1-2a1=-1,所以Tn-2Sn＝-1+0+...+(bn-2an)≥-1+2^(n)-1-1-4

即Tn-2Sn≥2^(n)-7

当n≥3时,Tn-2Sn＞0,即Tn/2＞Sn

当n＜3时,Tn-2Sn＜0,即Tn/2＜Sn

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