解题思路：（1）先设g（x）=lnx-（x-1）=lnx-x+1，利用导数研究它的单调性，得出g（x）在x=1处取最大值，即可证得结论；
（2）假设
x−1＝
1
n
，从而得出
x＝1+
1
n
，由（1）得
ln(1+
1
n
)≤
1
n
，即[1/n≥ln
n+1
n]，再利用∀M＞0，取n为任意一个不小于eM的自然数，则
b
n
＝ln(n+1)＞ln
e
M
＝M
，从而得出数列{bn}无上界．
证：（1）设g（x）=lnx-（x-1）=lnx-x+1，∀x＞0.g/(x)＝
1
x−1…（1分），
解g′（x）=0得x=1…（2分）．
当0＜x＜1时，g/(x)＝
1
x−1＞0，g（x）单调递增…（3分）；
当x＞1时，g/(x)＝
1
x−1＜0，g（x）单调递减…（4分），
所以g（x）在x=1处取最大值，即∀x＞0，g（x）≤g（1）=ln1-1+1=0，lnx≤x-1…（6分）
（2）数列{bn}无上界…（7分）∀n∈N*，设x−1＝
1
n…（8分），x＝1+
1
n，
由（1）得ln(1+
1
n)≤
1
n，[1/n≥ln
n+1
n]…（10分），
所以bn＝1+
1
2+…+
1
n≥ln
2
1+ln
3
2+…+ln
n+1
n=ln（n+1）…（13分），
∀M＞0，取n为任意一个不小于eM的自然数，
则bn＝ln(n+1)＞lneM＝M，数列{bn}无上界…（14分）．
点评：
本题考点： 全称命题．
考点点评： 本题主要考查全称命题、数列的通项公式在求解中的应用，及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
1年前
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