设函数f(x)=2x3+ax2+bx+m的导函数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=−12对称,且f′(
1个回答

解题思路:(1)求出原函数的导函数,导函数为二次函数,根据其对称轴为直线x=−12得到a的值,再由f′(1)=0求出b的值;(2)在(1)求出a和b的前提下,函数解析式中仅含有变量m,求出函数f(x)的极大值和极小值,由函数f(x)恰有三个零点,则函数的极大值大于0,且同时满足极小值小于0,联立可求m的取值范围.

(1)由f(x)=2x3+ax2+bx+m,

得:f'(x)=6x2+2ax+b

则其对称轴为x=−

a

6,

因为函数y=f′(x)的图象关于直线x=−

1

2对称,

所以,−

a

6=−

1

2,所以a=3

则f(x)=6x2+6x+b,

又由f'(1)=0可得,b=-12.

(2)由(1)得:f(x)=2x3+3x2-12x+m

所以,f(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2)

当x∈(-∞,-2)时,f(x)>0,x∈(-2,1)时,f(x)<0,x∈(1,+∝)时,f(x)>0.

故函数f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上是增函数,在(-2,1)上是减函数,

所以,函数f(x)的极大值为f(-2)=20+m,极小值为f(1)=m-7.

而函数f(x)恰有三个零点,故必有

20+m>0

m−7<0,解得:-20<m<7.

所以,使函数f(x)恰有三个零点的实数m的取值范围是(-20,7).

点评:

本题考点: 导数的加法与减法法则;二次函数的性质;根的存在性及根的个数判断.

考点点评: 本题考查了导数的运算法则和二次函数的性质,考查了根的存在性及根的个数的判断,考查了数学转化思想,解答此题的关键是把函数f(x)恰有三个零点转化为函数极值的范围问题,此题是中档题.