如图,设直线y=x与BC交于E点,分别过A、E两点作x轴的垂线,垂足为D、F,EF交AB于M,
∵A点的横坐标为1,A点在直线y=x上,
∴A（1,1）,又AB=AC=2,AB∥x轴,AC∥y轴,
∴B（3,1）,C（1,3）,且△ABC为等腰直角三角形,
∵点E在直线y=x上,
∴E为BC的中点,
∴M为AB中点,
EM= 12AC=1,AM=1,
∴EF=1+1=2,OF=1+1=2,
E点坐标为（2,2）,
∴k=OD×AD=1,或k=OF×EF=4,
当双曲线与△ABC有唯一交点时,1≤k≤4．
故答案为：1≤k≤4．
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