已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0。
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（1）函数的定义域为（-a，+∞），
求导函数可得
令f′（x）=0，
可得x=1-a＞-a
令f′（x）＞0，x＞-a可得x＞1-a；
令f′（x）＜0，x＞-a可得-a＜x＜1-a
∴x=1-a时，函数取得极小值且为最小值
∵函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，
∴f（1-a）=1-a-0，解得a=1。
（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合题意
当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx 2，
即g（x）=x-ln（x+1）-kx 2
求导函数可得g′（x）=
g′（x）=0，可得x 1=0，
①当k≥
时，
，
g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，
从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，
即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx 2成立；
②当0＜k＜
时，
，对于
，g′（x）＞0，
因此g（x）在
上单调递增，
因此取
时，g（x 0）≥g（0）=0，即有f（x 0）≤kx 0 2不成立；
综上知，k≥
时对任意的x∈[0，+∞），
有f（x）≤kx 2成立，k的最小值为
。
（3）证明：当n=1时，不等式左边=2-ln3＜2=右边，所以不等式成立
当n≥2时，
在（2）中，取k=
，得f（x）≤
x 2，
∴
（i≥2，i∈N*）
∴
=f（2）+
＜2-ln3+
=2-ln3+1-
＜2
综上，
（n∈N*）。
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