计算行列式 |1+a1 1 …… 1 | | 1 1+a2 …… 1 | | …… …… …… | | 1 1 …… 1
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1+a1 1 1 …… 1 1

1 1+a2 1 …… 1 1

1 1 1+a3 …… 1 1

…… …… …… …… …… …… ……

1 1 1 ……1+a 1

1 1 1 …… 1 1+an

依次用第n行减去第n-1行,第n-1行减去第n-2行,……,第2行减去第1行,得

1+a1 1 1 …… 1 1

-a1 a2 0 …… 0 0

0 -a2 a3 …… 0 0

…… …… …… …… …… …… ……

0 0 0 …… a 0

0 0 0 …… -a an

按第一行展开,得

原式 = (1+a1)*a2*a3*a4*……*a*an

+ (-1)*(-a1)*a3*a4*……*a*an

+ [(-1)^2]*(-a1)*(-a2)*a4*……*a*an

+…………+

+ [(-1)^(n-2)]*(-a1)*(-a2)*(-a3)*……*(-a)*an

+ [(-1)^(n-1)]*(-a1)*(-a2)*(-a3)*……*(-a)*(-a)

= a1*a2*a3*a4*……*a*an

+a2*a3*a4*……*a*an

+ a1*a3*a4*……*a*an

+ a1*a2*a4*……*a*an

+…………+

+ a1*a2*a3*……*a*an

+ a1*a2*a3*……*a*a

(1) 若数列a1、a2、a3、……、an中至少有两个数等于零,则

行列式中就会出现至少两个以上均为1的相同行,

∴原行列式=0

(2) 若数列a1、a2、a3、……、an中有且仅有一个数等于零,假设a i =0(其中i∈[1,n])则

原行列式 = a1*a2*a3*……* ai-1 * ai+1*……*an (数列中不算ai的其余n-1个数的乘积)

(3) 若数列a1、a2、a3、……、an均不为零,则

原行列式 = a1*a2*a3*a4*……*a*an * [ 1+1/a1+1/a2+1/a3+……+1/an ]