已知曲线C的方程为kx 2 +（4-k）y 2 =k+1（k∈R）．
1个回答
（1）当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；
当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为
x 2
k+1
k +
y 2
k+1
4-k =1，①
方程①表示椭圆的充要条件是
k+1
k ＞0
k+1
4-k ＞0
k+1
k ≠
k+1
4-k
即是0＜k＜2或2＜k＜4．
（2）方程①表示双曲线的充要条件是
k+1
k •
k+1
4-k ＜0，
即k＜-1或-1＜k＜0或k＞4．
①当k＜-1或k＞4时，双曲线焦点在x轴上，
a 2=
k+1
k ，b 2=
k+1
k-4 ，
其一条渐近线的斜率为
b
a =
k+1
k-4
k+1
k =
3 ，得k=6．
②当-1＜k＜0时，双曲线焦点在y轴上，
a 2=
k+1
4-k ，b 2=-
k+1
k ，
其一条渐近线的斜率为
a
b =
-
k+1
k
k+1
4-k =
3 ，得k=6（舍），
综上得双曲线方程为
x2
7
6 -
y2
7
2 =1．
（3）若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+m．
由
y=-x+m
6 x 2 -2 y 2 =7 ，
消去y，
得4x 2+4mx-2m 2-7=0．②
设P、Q的中点是M（x 0，y 0），则
x 0 =-
m
2
y 0 =
3m
2
M在直线l上，
∴
3m
2 =-
m
2 -1，解得m=-
1
2 ，方程②的△＞0，
∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为y=-x-
1
2 ．
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