已知f(x)=e^x-ax,若对任意的x∈[0,∏/2],不等式f(x)>=e^x(1-sinx)恒成立,求a的取值范围
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由题意得,
e^x-ax≥e^x(1-sinx) 对任意的x∈[0,∏/2]恒成立
则sinx-ax≥0 对任意的x∈[0,∏/2]恒成立
设g(x)=sinx-ax,则g(x)'=cosx-a
∵x∈[0,∏/2],∴cosx∈[0,1],cosx-a∈[-a,1-a]
①当-a≧0时,即a≦0时,g(x)'≥0,g(x)在[0,∏/2]单调递增,g(x)min=g(0)=sin0-0=0,满足题意
②当1-a≦0时,即a≧1时,g(x)'≦0,g(x)在[0,∏/2]单调递减,g(x)min=g(∏/2)=sin(∏/2)-∏a/2≧0
解得a≦2/∏,与a≧1矛盾,舍弃
③当-a＜0＜1-a时,即a≦2/∏＜1,令cosx-a=0,得x=arccosa,∵y=cosx在[0,∏/2]单调递减,g(x)在[0,arccosa]单调递增,在[arccosa,∏/2]单调递减,g(x)min=g(0)或g(∏/2),g(0)=0≧0,g(∏/2)=sin(∏/2)-∏a/2≧0,则a≦2/∏,综上所述,0＜a≦2/∏
综上所述,a≦2/∏
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