（1）已知f（x）=[x/x+2]，用定义法证明：f（x）在（-∞，-2）内单调递增；
1个回答
解题思路：（1）根据函数单调性的定义，利用定义法证明：f（x）在（-∞，-2）内单调递增；
（2）根据函数奇偶性的定义即可得到结论．
（1）证明：x1＜x2＜-2，
则f（x1）-f（x2）=
x1
x1+2−
x2
x2+2=
x1(x2+2)−x2(x1+2)
(x1+2)(x2+1)=
2(x1−x2)
(x1+2)(x2+2)，
∵x1＜x2＜-2，
∴x1-x2＜0，x1+2＜0，x2+2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在（-∞，-2）上是增函数；
（2）∵a＞0，f（x）=
ex/a]+[a
ex是R上的偶函数，
∴f（-x）=
e−x/a+
a
e−x]=f（x），
即
e−x
a+
a
e−x=
ex
a+[a
ex，
即
1
aex+aex=
ex/a]+[a
ex，
则（
1/a−a）•
1
ex]=（[1/a−a）•ex，
即（
1
a−a）（ex−
1
ex]）=0，
则
1
a−a=0，
即a2=1，解得a=±1，
∵a＞0，
∴a=1．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题主要考查函数单调性和奇偶性的证明和应用，利用定义法是解决本题的关键．
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