已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为实数．
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（1）当a=-1时，f′（x）=（-x+lnx）′=-1+
1
x ，
令f′（x）=-1+
1
x =0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
故f（x）有极大值f（1）=-1
（2）求导可得f′（x）=a+
1
x ，由x∈（0，e]，得
1
x ∈[
1
e ，+∞) ，
由于f（x）在区间（0，e]上是增函数，所以f′（x）≥0在（0，e]上恒成立，
即a+
1
x ≥0在（0，e]上恒成立，所以a ≥-
1
x 在（0，e]上恒成立，
由
1
x ∈[
1
e ，+∞) ，知 -
1
x ∈(-∞，-
1
e ] ，即 -
1
x ≤-
1
e
所以当a ≥-
1
e 时，a ≥-
1
x 恒成立，
故所求a的取值范围为：a ≥-
1
e
（3）由（1）中的结论f（x）由唯一极值-1知，函数f（x）由最大值-1，
即f（x）≤-1，所以|f（x）|≥1，
令g（x）=
lnx
x +
1
2 ，则g′（x）=
1-lnx
x 2
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）在（0，+∞）上的最大值为g（e）=
1
e +
1
2 ，
从而g（x） ≤
1
e +
1
2 ，又
1
e +
1
2 ＜1 ，所以方程|f（x）|=
1nx
x +
1
2 无实数解．
