解题思路：（1）f（x）≥0对一切x∈R恒成立，等价于f（x）min≥0，利用导数可得最小值；
（2）设x1，x2是任意的两实数，且x1g（x1）-mx1，令函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，分离出参数m后转化为求函数最值即可；
（3）由（1）知ex≥x+1，取x=
−
i
2n
，i=1，3，…，2n-1，得1-[i/2n≤
e
i
2n]，即
(
2n−i
2n
)
n
≤
e
−
i
2
，累加后再进行适当放缩，可证明；
（1）∵f（x）=ex-a（x+1），∴f′（x）=ex-a，
∵a＞0，f′（x）=ex-a=0的解为x=lna，
∴f（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，
∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，
∴-alna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，即amax=1．
（2）设x1，x2是任意的两实数，且x1＜x2，
则
g(x2)−g(x1)
x2−x1]＞m，故g（x2）-mx2＞g（x1）-mx1，
∴不妨令函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，
∴对任意的a≤-1，x∈R，m≤g′（x）恒成立，
g′(x)＝ex−a−
a
ex≥2
ex•(−
a
ex)-a=-a+2
−a=(
−a+1)2−1≥3，
故m≤3；
（3）由（1）知ex≥x+1，取x=−
i
2n，i=1，3，…，2n-1，得1-[i/2n≤e
i
2n]，即(
2n−i
2n)n≤e−
i
2，
累加得：(
1
2n)n+(
3
2n)n+…+(
2n−1
2n)n≤e−
2n−1
2+e−
2n−3
2+…+e−
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查恒成立问题、导数求函数的最值，考查转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高．
1年前
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