在直角三角形ABC中,角ACB=90度,D为AB的中点,E在AC上,F在BC上,且AE2+BF2=CE2+CF2,试说明

在直角三角形ABC中,角ACB=90度,D为AB的中点,E在AC上,F在BC上,且AE2+BF2=CE2+CF2,试说明DE垂直于DF

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证明：过A点 作AH⊥AC交FD延长线于H,连结EH,

∵ AH//BF,AD=BD,

∴ △ADH≌△BDF,

∴ AH=BF,DH=DF,

∴ HE^2=AH^2+AE^2

=AE^2+BF^2

=CE^2+CF^2

=EF^2,

∴ EF=EH,即EFH为等腰三角形

∴ DE⊥HF .(等腰三角形三线合一)

即 DE垂直于DF

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