求正交变化啊.囧f(x1,x2,x3)=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+4x1x3+8x2x3化为标准型.
1个回答

解: A =

1 -2 2

-2 -2 4

2 4 -2

|A-λE| =

1-λ -2 2

-2 -2-λ 4

2 4 -2-λ

=c2+c3

1-λ 0 2

-2 2-λ 4

2 2-λ -2-λ

=r3-r2

1-λ 0 2

-2 2-λ 4

4 0 -6-λ

=(2-λ)*

1-λ 2

4 -6-λ

= -(λ + 7)(λ - 2)^2

A的特征值为 -7, 2, 2

(A+7E)X=0 的基础解系为: a1=(1,2,-2)'

(A-2E)X=0 的正交的基础解系为: a2=(2,-1,0)',a3=(1,2,5/2)'

单位化得

c1=(1/3,2/3,-2/3)'

c2=(2/√5,-1/√5,0)'

c3=(2/√45,4/√45,5/√45)'

令Q=(c1,c2,c3). 则Q是正交矩阵

所求正交变换为 X=QY

f = -7y1^2+2y2^2+2y3^2.

相关问题