已知圆P：x 2 +y 2 -2y-3=0，抛物线C以圆心P为焦点，以坐标原点为顶点．
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（1）圆x 2+y 2-2y-3=0化为标准方程：x 2+（y-1） 2=4
∴圆的圆心P（0，1）…（1分），
设抛物线C：x 2=2py…（2分），
∵抛物线C以圆心P为焦点，
∴
p
2 =1 …（3分），
∴p=2
∴所求抛物线的方程为x 2=4y…（4分）．
（2）由方程组
x 2 + y 2 -2y-3=0
x 2 =4y 可得y=1…（5分），
依题意，圆P与抛物线C在第一象限的交点为A，∴A（2，1）…（6分），
抛物线C即函数 y=
1
4 x 2 的图象，当x=2时，切线的斜率 k=y′=
1
2 x=1 …（8分），
∴切线为y-1=1×（x-2），即x-y-1=0…（9分），
∴x=0时，y=-1，所以Q（0，-1）…（10分）．
∵动点M到P、Q两点距离之和等于6
∴M的轨迹是焦点在y轴的椭圆，
设它的方程为
x 2
b 2 +
y 2
a 2 =1(a＞b＞0) …（12分），
则2a=|MP|+|MQ|=6，2c=|PQ|=2…（13分），
∴a=3，b 2=a 2-c 2=8，
∴M的轨迹方程为
x 2
8 +
y 2
9 =1 …（14分）．
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