设a∈R，f(x)＝cosx(asinx−cosx)+cos2(π2−x)满足f(−π3)＝f(0)，
1个回答
解题思路：（Ⅰ）通过二倍角公式，以及
f(−
π
3
)＝f(0)
，求出a的值，利用两角差的正弦函数化简函数的表达式，通过正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）利用余弦定理化简
a
2
+
c
2
−
b
2
a
2
+
b
2
−
c
2
＝
c
2a−c
，通过正弦定理求出
cosB＝
1
2
，推出B的值，然后求f（x）在（0，B]上的值域．
（Ⅰ）f（x）=asinxcosx-cos2x+sin2x=[a/2sin2x-cos2x．
由f(-
π
3)=f(0)得-
3
2•
a
2+
1
2=-1，解得a=2
3]．
因此f(x)=
3sin2x-cos2x=2sin(2x-
π
6)．
令-
π
2+2kπ≤2x-
π
6≤
π
2+2kπ，k∈Z
得-
π
6+kπ≤x≤
π
3+kπ，k∈Z
故函数f（x）=的单调递增区间[-
π
6+kπ，
π
3+kπ](k∈Z)（6分）
（Ⅱ）由余弦定理知：
a2+c2-b2
a2+b2-c2=
2accosB
2abcosC=
ccosB
bcosC=
c
2a-c
即2acosB-ccosB=bcosC，
又由正弦定理知：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
即cosB=
1
2，所以B=
π
3
当x∈(0，
π
3]时，2x-
π
6∈(-
π
6，
π
2]，f（x）∈（-1，2]
故f（x）在（0，B]上的值域为（-1，2]（12分）
点评：
本题考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．
考点点评： 本题考查余弦定理，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，正弦定理个应用，考查转化思想与计算能力．
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