其实这道题用泰勒展开要方便些,具体做法是:
把f[(a+b)/2]分别在点a和b泰勒展开至三阶导余项,相减,并利用导函数的介值定理(不是中值定理,可参考此处:http://baike.baidu.com/view/632063.htm)立马可得.
如果非要构造辅助函数用拉格朗日中值定理,计算会很繁琐.下面涉及计算的我用mathematica编程来计算和证明,主要是说说思想.
假设构造了g(x),如果满足:
条件一:g(a)=0,g(b)=0,
则存在g'(e1)=0,
如果还满足:
条件二:g'(a)=0,g'(b)=0,
则存在g''(e21)=0,g''(e22)=0,
也就存在g'''(e3)=0
最后只要再满足:
条件三:g'''(e3)=0与求证的结论等价,
原命题即可得证.
这里说个自己总结的技巧:
考虑到拉格朗日中值定理的证明所构造的函数是一个多项式H(x),满足H(a)=f(a),H(b)=f(b).
本题中出现了f(a),f(b),f'(a),f'(b),则构造的多项式满足:
H(a)=f(a),H(b)=f(b),H'(a)=f'(a),H'(b)=f'(b)即可.这实际上是个埃尔米特(Hermite)插值,参见这里http://baike.baidu.com/view/4689753.htm
于是,构造g(x)=f(x)-H(x),H(x)的形式有现成函数可以调用,具体形式为:
g[x_] = f[x] -
InterpolatingPolynomial[{{a,f[a],f'[a]},{b,f[b],f'[b]}},x] //
Simplify
结果为:
-f[a] + f[x] - (1/((a - b)^3))(a - x) (-(a - x) (a - 3 b + 2 x) f[a] + (a - x) (a - 3 b + 2 x) f[b] - (a - b) (b - x) ((b - x)
这就是构造的函数的具体形式,只需逐步验证上面三个条件即可:
{g[a],g[b],D[g[#],#] &[a],D[g[#],#] &[b],
D[g[x],{x,3}]} // Simplify
结果为:
{0,0,0,0,-((6 (-2 f[a] + 2 f[b] + (a - b) (f'[a] + f'[b])))/(a - b)^3) + f'''[x]}
可以看出构造此g(x)便可用拉格朗日中值定理证明原式.
