引理：对任意整数a,a(a+1)必为偶数.
证明：若a是偶数,则a(a+1)是偶数；若a是奇数,则a+1是偶数,所以a(a+1)是偶数.
假设2006可以表达成10个奇数的平方和,则存在整数a1,a2,...,a10使得
(2a1+1)^2+(2a2+1)^2+...+(2a10+1)^2=2006
展开得
(4a1^2+4a1+1)+(4a2^2+4a2+1)+...+(4a10^2+4a10+1)=2006
整理得
4[(a1^2+a1)+(a2^2+a2)+...+(a10^2+a10)]=2006-10=1996
所以
a1(a1+1)+a2(a2+1)+...+a10(a10+1)=1996/4=449.
而由上面引理,每个ai(ai+1)都是偶数,所以和也是偶数,不可能等于449.所以假设不成立.证毕.
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