解题思路：（Ⅰ）当a=1时，利用分段函数作函数f（x）的图象并写出单调区间；
（Ⅱ）当a≥0时，根据二次函数的图象和性质即可求g（a）的表达式；
（Ⅲ）利用函数单调性的定义即可得到结论．
（I）当a=1时，f（x）=x2-|x|+1=
x2+x+1，x＜0
x2−x+1，x≥0，
作图如下
单调减区间：（-∞，−
1
2]，[0，[1/2]]，单调增区间：[-[1/2]，0]，[[1/2]，+∞），
（II）当x∈[1，2]时，f（x）=ax2-x+2a-1．
若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3．
若a＞0，则f（x）=a（x-[1/2a]）2+2a-[1/4a]-1，f（x）图象的对称轴是直线x=[1/2a]．
当0＜[1/2a]＜1，即a＞[1/2]时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，
g（a）=f（1）=3a-2．
当1≤[1/2a]≤2，即[1/4]≤a≤[1/2]时，g（a）=f(
1
2a)=2a-[1/4a]-1．
当[1/2a]＞2，即0＜a＜[1/4]时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，
g（a）=f（2）=6a-3．
综上可得g（a）=
6a−3，0≤a＜
1
4
2a−
1
4a−1，
1
4≤a≤
1
2
3a−2，a＞
1
2．
（III）当x∈[1，2]时，h（x）=ax+[2a−1/x]-1，在区间[1，2]上任取x1、x2，且x1＜x2，
则h（x2）-h（x1）=(ax2+
2a−1
x2−1)−(ax1+
2a−1
x1−1)=（x2-x1）(a−
2a−1
x1x2)
=（x2-x1）
ax1x2−(2a−1)
x1x2．…（11分）
因为h（x）在区间[1，2]上是增函数，
所以h（x2）-h（x1）＞0．
因为x2-x1＞0，x1x2＞0，所以ax1x2-（2a-1）＞0，
即ax1x2＞2a-1．
当a=0时，上面的不等式变为0＞-1，即a=0时结论成立．
当a＞0时，x1x2＞[2a−1/a]，由1＜x1x2＜4，得[2a−1/a]≤1，解得0＜a≤1．
当a＜0时，x1x2＜[2a−1/a]，由1＜x1x2＜4，得[2a−1/a]≥4，解得-[1/2]≤a＜0．
所以实数a的取值范围为[−
1
2，1]．
点评：
本题考点： 函数图象的作法；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题主要考查函数单调性的判断和证明，综合考查函数的性质的应用．
