已知 是二次函数，不等式 的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.
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已知
是二次函数，不等式
的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.
(1)求
的解析式；
(2)是否存在自然数m，使得方程
＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．
(1)
(2)存在唯一的自然数m＝3，使得方程
在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根．
试题分析：(1)为求函数的解析式，可根据
是二次函数，且
的解集是(0,5)，
设出
应用“待定系数法”．
(2)首先注意到方程
＝0等价于方程
，从而，可通过研究函数
达到解题目的.
具体地，通过“求导数、求驻点、讨论导数的正负、确定函数的单调区间”，认识方程的根分布情况.
试题解析：
(1)∵
是二次函数，且
的解集是(0,5)，
∴可设
．
∴
在区间[－1,4]上的最大值是
.
由已知，得
5分
(2)方程
＝0等价于方程
设
则
．7分
当x∈
时，
，因此
在此区间上是减少的；
当x∈
时，
，因此
是在此区间上是增加的．
∵h(3)＝1>0，h
＝
<0，h(4)＝5>0， 10分
∴方程
＝0在区间
，
内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，
∴存在唯一的自然数m＝3，使得方程
在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根． 12分
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