如图，设抛物线方程为x 2 =2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B。 （
1个回答
（1）由题意设
由
得
，则
所以
因此直线MA的方程为
直线MB的方程为
所以
①
②
由①、②得
因此
，即
所以A、M、B三点的横坐标成等差数列。
（2）由（1）知，当x 0=2时，将其代入①、②并整理得：
，
所以，x 1、x 2是方程
的两根，
因此
又
所以
由弦长公式得
又
，
所以p=1或p=2，
因此所求抛物线方程为
或
。
（3）设D（x 3，y 3），由题意得C（x 1+ x 2，y 1+ y 2），
则CD的中点坐标为
设直线AB的方程为
由点Q在直线AB上，并注意到点
也在直线AB上，
代入得
若D（x 3，y 3）在抛物线上，则
因此，x 3=0或x 3=2x 0
即D（0，0）或
（i）当x 0=0时，则
，此时，点M（0，-2p）适合题意；
（ii）当
，对于D（0，0），此时
又
，AB⊥CD，
所以
即
矛盾
对于
，因为
此时直线CD平行于y轴，
又
所以，直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，
所以
时，不存在符合题意的M点
综上所述，仅存在一点M（0，-2p）适合题意。
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