已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).
(Ⅰ)当a=-6时,函数f(x)定义域和值域都是[1,[b/2]],求b的值;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(0,1)上与x轴有两个不同的交点,求b2+ab+b+1的取值范围.
解题思路:(Ⅰ)当a=-6时,函数f(x)=x2+ax-6图象的对称轴为直线x=3,结合二次函数的单调性,分当2<b≤6时,当6<b≤10时,当b>10时,三种情况讨论满足条件的b值,最后综合讨论结果,可得答案.
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(0,1)上与x轴有两个不同的交点,即函数f(x)=x2+ax+b的两个零点为x1,x2(0<x1<x2<1),即f(0)=b=x1x2>0,f(1)=1+a+b=(1-x1)(1-x2)>0,进而结合基本不等式可得b2+ab+b+1的取值范围.
(Ⅰ)当a=-6时,函数f(x)=x2+ax-6图象的对称轴为直线x=3,
故f(x)在区间[1,3]单调递减,在区间[3,+∞)单调递增.
①当2<b≤6时,f(x)在区间[1,[b/2]]上单调递减;故
f(1)=
b
2
f(
b
2)=1,无解;
②当6<b≤10时,f(x)在区间[1,3]上单调递减,[3,[b/2]]上单调递增,且f(1)≥f([b/2]),故
f(1)=
b
2
f(3)=1,解得b=10;
③当b>10时,f(x)在区间[1,3]上单调递减,[3,[b/2]]上单调递增,且f(1)<f([b/2]),故
f(
b
2)=
b
2
f(3)=1,
点评:
本题考点: 二次函数的性质;函数的定义域及其求法;函数的值域.
考点点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,函数的零点,基本不等式,是函数图象和性质与不等式的综合应用,难度中档.
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