已知函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R），且集合A={x|x=f（x）}，B={x|x=f[f（x）]}．
1个回答
解题思路：（1）若x∈A，则x=f（x）成立，则f[f（x）]=f（x）=x必成立，进而根据集合包含关系的定义，得到结论；
（2）由A={x|f（x）=x}={x|x2+ax+b=x}={x|x2+（a-1）x+b=0}={-1，3}，结合方程根与系数关系可求a，b，进而可求，f（x），然后代入B={x|f[f（x）]=x}整理可求．
（1）证明：若x∈A，则x=f（x）成立，
则f[f（x）]=f（x）=x必成立，即x∈B，
故A⊆B；
（2）∵A={x|f（x）=x}={x|x2+ax+b=x}={x|x2+（a-1）x+b=0}={-1，3}
∴-1，3是方程x2+（a-1）x+b=0的根
∴
1−a＝2
b＝−3，即a=-1，b=-3，
∴f（x）=x2-x-3
∴B={x|f[f（x）]=x}={x|f（x2-x-3）=x}={x|（x2-x-3）2-（x2-x-3）-3=x}
化简可得，（x2-x-3）2-x2=0
∴（x2-3）（x2-2x-3）=0
∴x=
3或x=-
3或x=3或x=-1
∴B={
3，-
3，-1，3}．
点评：
本题考点： 集合的包含关系判断及应用；集合的表示法．
考点点评： 本题主要考查了二次函数与二次方程之间关系的相互转化，方程的根与系数关系的应用．
相关问题
