证明a^3*b-b^3*a,a^3*c-a*c^3,b^3*c-b*c^3 其中有一个一定是10的倍数
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首先分别将三个式子提取公因式,然后作平方差公式,化简为：
ab(a+b)(a-b)
ac(a+c)(a-c)
bc(b+c)(b-c)
要证明是10的倍数,只需要证明是2和5的倍数即可.
对于ab(a+b)(a-b),讨论a和b的奇偶性.
a,b只要有一个偶数,则乘积为偶数,ab若都为奇数,则(a+b)和(a-b)为偶数,乘积也是偶数.
所以它一定是2的倍数.
假设a,b,c均不为5的倍数.要使上述三个乘积不为5的倍数,首先应当保证a,b,c除以5的余数不同,否则(a-b),(a-c),(b-c)会成为5的倍数.【a,b,c余数相同的两个相减即可整除5】
那么a,b,c三者除以5的余数可以是1,2,3,4中的任意三个.
由于存在着2+3=5,1+4=5.所以在1,2,3,4中选出3个的话,必然存在两个之和能够被5整除.
也就是(a+b),(a+c),(b+c)必然存在至少一个能被5整除.
综上,原三个多项式至少有一个一定是10的倍数.
我写的可能不够书面,做题的话可以把语句写得更规范些.
不理解就追问,理解了请采纳!
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