如图,一次函数y=2x-6与反比例函数y=[k/x](k>0)的图象交于点A(4,2),与x轴交于点B.
(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标;
(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是等腰三角形?若存在,直接写出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
解题思路:(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式,即可求得k的值,得到函数的解析式;在一次函数y=2x-6中,令y=0,即可求得B的横坐标;
(2)分A、B、C分别是等腰三角形的顶角顶点,三种情况进行讨论,即可求解.
(1)∵反比例函数y=[k/x](k>0)的图象过点A(4,2),
∴2=[k/4],解得k=8.
所以反比例函数解析式为y=[8/x],
∵直线y=2x-6与x轴交于点B,∴当y=0时,2x-6=0,解得x=3,
∴点B的坐标为(3,0).
(2)AB=
(4−3)2+22=
5,
当B是等腰三角形的顶角顶点时,BC=AB,则OC=3+
5或3-
5,即C的坐标C1(3+
5,0);C2(3-
5,0);
当A是等腰三角形的顶角的顶点时,AC=AB,过A作AD⊥x轴于点D,则BD=DC=4-3=1,则OC=3+1+1=5,则C的坐标是(5,0);
当C是等腰三角形的顶角的顶点时,AB的中点是([7/2],1),则设过AB的中点与C的直线的解析式是:y=-[1/2]x+b,把([7/2],1)代入得:-
点评:
本题考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.
考点点评: 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式,以及等腰三角形的性质,正确对C的位置进行讨论是关键.
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