已知一抛物线与x轴交于A(-2,0),B(4,0) - 已解决

已知一抛物线与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点,并且该二次函数的最小值为-3,求该抛物线的解析式（限时1天）

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设该抛物线函数为 y=ax^2+bx+c,

根据题意,点A、点B在该抛物线上：

0=a(-2)^2+b(-2)+c, 即 4a-2b+c=0 (1),

0=a(4)^2+b(4)+c, 即 16a+4b+c=0 (2).

并且,该函数的最小值、也应该是它的极小值,从而推断该抛物线开口向上,即a>0;由极小值公式及函数最小值-3,得：

y=a[-b/(2a)]^2+b[-b/(2a)]+c=-3.

整理即为 b^2-4ac-12a=0 (3).

[如果背不出最小值公式,可以现场推导：

因为抛物线图像的最值在其极值处,

而极值处的函数图像的切线必平行于X轴,

换言之,函数一阶导数等于0,

即 y'=2ax+b = 0.

于是,函数图像在 x=-b/(2a),y=a[-b/(2a)]^2+b[-b/(2a)]+c 处有最小值-3,

即 y=a[-b/(2a)]^2+b[-b/(2a)]+c = -3.]

联立三个方程：

（1）4a-2b+c=0,

（2）16a+4b+c=0,

（3）b^2-4ac-12a=0,

解之,得：

a=1/3,

b=-2/3,

c=-8/3.

其中,在求解过程中,a=0,b=0,c=0之解不符合题意,舍弃.

则该抛物线的解析式为：

y=(1/3)x^2-(2/3)x-8/3,

或

y=(1/3)(x^2-2x-8).

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