已知二次函数的图像过点A(2,1)和B(-1,-8),且与x轴相交两点的距离为2
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f(x)=ax²+bx+c

过A和B

1=4a+2b+c

-8=a-b+c

相减

3a+3b=9

b=3-a

代入1=4a+2b+c

1=4a+6-2a+c

c=-5-2a

f(x)=ax²+(3-a)x-5-2a

由韦达定理

x1+x2=-(3-a)/a

x1x2=(-5-2a)/a

(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=(3-a)²/a²+4(5+2a)/a

与x轴相交两点的距离=|x1-x2|=2

(x1-x2)²=4

所以(3-a)²/a²+4(5+2a)/a=4

两边乘a²

9-6a+a²+20a+8a²=4a²

5a²+14a+9=0

(5a+9)(a+1)=0

a=-9/5,a=-1

所以f(x)=-9x²/5+24x/5-7/5

或f(x)=-x²+4x-3

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