如图,在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=90°,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E,交BC于点F.
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(1)连接OE.

∵OB=OE

∴∠OBE=∠OEB

∵BE是△ABC的角平分线

∴∠OBE=∠EBC

∴∠OEB=∠EBC

∴OE∥BC

∵∠C=90°

∴∠AEO=∠C=90°

∴AC是圆O的切线;

(2)连接OF.

∵sinA=

,∴∠A=30°

∵圆O的半径为4,∴AO=2OE=8,

∴AE=4

,∠AOE=60°,

∴AB=12,

∴BC=

AB=6 AC=6

∴CE=AC﹣AE=2

∵OB=OF,∠ABC=60°,

∴△OBF是正三角形.

∴∠FOB=60°,CF=6﹣4=2,?∠EOF=60°.

∴S 梯形OECF=

(2+4)×2

=6

S 扇形EOF=

=

∴S 阴影部分=S 梯形OECF﹣S 扇形EOF=6