线性代数证明题设u是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,v1,v2,…,v n-r是对应齐次线性方程组的一个基础解析.证明
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用定义证明.
1、设yu＋x1v1+x2v2+...+x(n-r)v(n-r)=0,证明系数y=x1=x2=...=x(n-r)=0
若y≠0,则u=-(x1v1+x2v2+...+x(n-r)v(n-r))/y,即u可以由v1,v2,...,v(n-r)线性表示,所以u是齐次线性方程组Ax=0的解,与已知条件矛盾.所以y=0.
此时,x1v1+x2v2+...+x(n-r)v(n-r)＝0,因为v1,v2,...,v(n-r)是Ax=0的基础解系,它们是线性无关的,所以x1＝x2＝...＝x(n-r)=0.
综上,由yu＋x1v1+x2v2+...+x(n-r)v(n-r)=0只能得到y=x1=x2=...=x(n-r)=0,所以u,v1,v2,...,v(n-r)线性无关.
2、设yu＋x1(u+v1)+x2(u+v2)+...+x(n-r)(u+v(n-r))=0,则(y+x1+x2+...+x(n-r))u+x1v1+x2v2+...+x(n-r)v(n-r)=0,因为u,v1,v2,...,v(n-r)线性无关,所以y+x1+x2+...+x(n-r))＝x1＝x2＝...＝x(n-r)=0,所以y＝x1＝x2＝...＝x(n-r)=0,所以u,u+v1,u+v2,…,u+v n-r线性无关
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