毕达哥拉斯三角形数的规律是什么?
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在众多的学派中,毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出,该项研究强烈地反映了他们将数作为几何思维元素的精神,有效地印证了“凡物皆数”的观点.
那什么是形数呢?即有形状的数.毕达哥拉斯学派研究数的概念时,喜欢把数描绘成沙滩上的小石子,小石子能够摆成不同的几何图形,于是就产生了一系列的形数.
1、三角形数
毕达哥拉斯发现,当小石子的数目是1、3、6、10、…等数时,小石子都能摆成正三角形,他把这些数叫做“三角形数”.如图一1、2所示：
不难看出,前四个三角形数都是一些连续自然数的和,记每一个三角形数为 （i=1、2、3、…、n）则：
=1
=1+2=3
=1+2+3=6
=1+2+3+4=10
……………
=1+2+3+…+100=5050
……………
就这样,毕达哥拉斯借助生动的直观的几何图形,很快就发现了自然数的一个规律：从1开始的连续自然数的和都是三角形数.如果用字母n表示最后一个加数,那么1+2+3+…+n的和即是一个三角形数,而且正好是第n个三角形数.
∴=1+2+3+…+n= (n∈)
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